Exemple de rendu d'une fiche¶
exemple de rendu · mis à jour le 2026-11-08
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Programme
Suites réelles : suites arithmético-géométriques, suites définies par récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\), suites implicites, théorème de la limite monotone, suites adjacentes.
Suite adjacente
Deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes si \((a_n)\) croît, \((b_n)\) décroît et \(b_n - a_n \to 0\).
Limite monotone
Toute suite croissante majorée converge. Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
Suite implicite en trois pas
- Existence et unicité de \(x_n\) par le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie.
- Monotonie de \((x_n)\) par comparaison de \(f_n\) et \(f_{n+1}\) en \(x_n\).
- Limite par encadrement, puis équivalent par un développement.
Gendarmes
Pour \(x \in \R\) et \(n \in \N^*\) : \(nx - 1 < \floor{nx} \le nx\), donc \(\dfrac{\floor{nx}}{n} \to x\).
Piège
Les équivalents ne s'ajoutent pas : \(u_n \sim v_n\) et \(a_n \sim b_n\) ne donnent pas \(u_n + a_n \sim v_n + b_n\).
Réflexe copie
« La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\), donc elle converge d'après le théorème de la limite monotone. »
Cesàro
Si \(u_n \to \ell\) alors \(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} u_k \to \ell\) [HP-admis]. Les sujets le donnent ou le font redémontrer ; ne jamais l'invoquer par son nom.
Python
import numpy as np
def suite(n, u0=1.0):
"""Les n premiers termes de u_{k+1} = sqrt(2 + u_k)."""
u = np.zeros(n)
u[0] = u0
for k in range(n - 1):
u[k + 1] = np.sqrt(2 + u[k])
return u
Où ça tombe
Suites implicites : EDHEC 2019 exercice 2, oral HEC 2024 sujet 3. Suites adjacentes : emlyon 2023 exercice 1.
Plus loin
Point fixe contractant : si \(|f'| \le k < 1\) sur un intervalle stable, la suite converge géométriquement vers l'unique point fixe. Au programme appro, à redémontrer en appli.
Formule en display :