1. Suites¶
1 exercice, du plus abordable au plus dur. Les énoncés se suivent ; chaque corrigé est en bas de page, replié : clique sur « Voir le corrigé » quand tu as cherché.
| Exercice | Format | Technique | |
|---|---|---|---|
| ★★ | Exemple de rendu d'un exercice (suite implicite) | ecrit | encadrer la racine puis passer à la limite |
Énoncés¶
1. Exemple de rendu d'un exercice (suite implicite)¶
★★ · ecrit · Exemple de rendu écrit pour le dépôt, inspiré d'un classique (EDHEC appli 2019, exercice 2, réécrit)
Pour \(n \in \N^*\), on pose \(f_n(x) = x^n + x - 1\) sur \([0, 1]\).
- Montrer que l'équation \(f_n(x) = 0\) admet une unique solution \(x_n\) dans \([0, 1]\).
- Montrer que \((x_n)\) est croissante.
- Déterminer la limite de \((x_n)\).
Indications
Pour la question 2, comparer \(f_{n+1}(x_n)\) et \(f_n(x_n) = 0\).
Corrigés¶
1. Exemple de rendu d'un exercice (suite implicite)¶
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- \(f_n\) est continue et strictement croissante sur \([0, 1]\) (somme de fonctions strictement croissantes), \(f_n(0) = -1 < 0\) et \(f_n(1) = 1 > 0\). D'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie, l'équation \(f_n(x) = 0\) admet une unique solution \(x_n \in\ ]0, 1[\).
- \(f_{n+1}(x_n) = x_n^{n+1} + x_n - 1 = x_n^{n+1} - x_n^n = x_n^n (x_n - 1) < 0 = f_{n+1}(x_{n+1})\) car \(0 < x_n < 1\). Comme \(f_{n+1}\) est strictement croissante, \(x_n < x_{n+1}\). La suite \((x_n)\) est strictement croissante.
- Croissante et majorée par \(1\), \((x_n)\) converge vers \(\ell \in\ ]0, 1]\) d'après le théorème de la limite monotone. Si \(\ell < 1\), alors \(0 \le x_n^n \le \ell^n \to 0\), donc \(x_n = 1 - x_n^n \to 1\), contradiction. Donc \(x_n \to 1\).
Cheat code
Suite implicite en trois pas : existence et unicité par TVI et stricte monotonie ; monotonie de \((x_n)\) en évaluant \(f_{n+1}\) en \(x_n\) ; limite par le théorème de la limite monotone puis raisonnement par l'absurde sur la valeur de la limite.